Generalisation of a VENDT’S CRITERION (TRIVIAL CASE)
by means of Euler's theorem for any integers

УДК 511.522.2

ОБОБЩЕНИЕ ТРИВИАЛЬНОГО СЛУЧАЯ КРИТЕРИЯ ВЕНДТА
С ПОМОЩЬЮ ТЕОРЕМЫ ЭЙЛЕРА ДЛЯ ЛЮБЫХ ЦЕЛЫХ ЧИСЕЛ

С. М. Вахтеров, студент
МГТУ им. Н.Э.Баумана, г.Москва

Анализируются тривиальный случай критерия Вендта и выполняется его обобщение на основе теоремы Эйлера для любых целых чисел.

Ключевые слова: теорема Вендта, теорема Ферма, теорема Эйлера.

В 1894 г. Вендт указал детерминантный критерий наличия нетривиального решения сравнения Ферма ++ ≡ 0 mod (q), где p, q – различные нечетные простые числа [1].  Простейший случай данного критерия такой: “Если простое число q нечетно и натуральное число n таково, что НОД (n, q - 1) = 1, то существуют целые числа , не кратные , такие, что + +  ≡ 0 mod (q)”.

Эта теорема доказана с помощью Малой теоремы Ферма [1], но может быть усилена с помощью теоремы Эйлера [2] для использования в качестве обобщенного критерия существования решений в сравнениях Ферма.

Теорема: “Для любого целого числа q и простого числа e, при НОД (e, φ(q)) =1, где φ(q) - функция Эйлера от q, существуют целые числа x, y, z взаимнопростые с q, такие, что +  +  ≡ 0 mod (q)”, [3].

Доказательство. По предположению НОД (,)=1, а значит существуют такие целые числа d и b, что ed = bφ(q) +1. Пусть  целые числа , , , не кратные q, такие, что ++ ≡ 0 mod (q). Тогда, согласно теоремы Эйлера:   ≡ ,  ≡ ,  ≡  mod (q). Поэтому, +  ≡ 0 mod (q). Пример для  : +  +  ≡ 26+3+4 ≡ 0 mod (q) 33, где: q = 3*11; e = 3; d = 7. И, согласно теоремы:+  ≡ 0 mod 33.

Следствие. Если e ≡ d mod φ(q), тогда справедливо сравнение: ++++ ≡ 0 mod (q), а также: +++  +  . Пример: ++ ≡ 0 mod (q), где: q = 5*7; e = d = 5.

Действие данного критерия не ограничивается сравнениями Ферма и согласуется с любым количеством переменных в сравнениях.

СПИСОК ИСПОЛЬЗОВАННЫХ ИСТОЧНИКОВ И ЛИТЕРАТУРЫ

1. P. Ribenboim, Fermat's Last Theorem for Amateurs, Springer-Verlag, New York, NY, 1999. pp. xiv+407, ISBN 0-387-98508-5.

2. Euler's_theorem [Vikipedia - http://en.wikipedia.org].  – Режим доступа:  http://en.wikipedia.org/wiki/Euler's_theorem (дата обращения 024.02.2010).

3. Вахтеров С.М. Обобщение тривиального случая критерия Вендрта с помощью теоремы Эйлера для любых целых чисел // В мире научных открытий. – 2010. – №3(09). – Часть 1. – С. 119. – ISSN 2072-0831.

UDC 511.522.2

Generalisation of a VENDT’S CRITERION (TRIVIAL CASE) by means of Euler's theorem for any integers

S. M. Vakhterov

Moscow State Technical University n.a. N.E. Bauman

Pervomaiskaya, 39,79,  Moscow, 105043, Russia

Is parsed a Wendt's criterion (trivial case) and it is generalized by means of Euler's theorem for any integers.

Key words: Vendt’s theorem, Fermat’s theorem, Euler’s theorem.

Published:
S.M.Vakhterov, Generalisation of a Vendt’s criterion (trivial case) by means of Euler’s theorem for any integers // В мире научных открытий.– 2010. – №3(09). – Vol 1. – С. 119. – ISSN 2072-0831.

S.M. Vakhterov,  student, Moscow State Technical University n.a. N.E. Bauman

Contact:

http:// www.2000.ru/fermats/vakhterov_vendt_criterion.htm

Last Modified:  April, 15, 2010